Dunia Manajemen: Return dan Risiko Portofolio

RETURN DAN RESIKO PORTOFOLIO

A. Return Portofolio

Return realisasian portofolio (portfolio realized return) merupakan rata-rata tertimbang dari return-return realisasian masing-masing sekuritas tunggal di dalam portofolio tersebut. Secra matematis, return realisasian portofolio dapat ditulis sebagai berikut:

Rp = (8-1)

Notasi :

Rp = return realisasian portofolio

Wi = porsi dari sekuritas I terhadap seluruh

sekuritas di portofolio

Ri = return realisasian dari sekuritas ke-i

n = jumlah dari sekuritas tunggal

Sedangkan return ekspektasian portofolio (portofolio expected return) merupakan rata-rata tertimbang dari return-return ekspektasian masing-masing sekuritas tunggal di dalam portofolio. Return ekspektasian portofolio dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut:

E(Rp) = (8-2)

Notasi :

E (Rp) = return ekspektasian dari portofolio

Wi = porsi dari sekuritas I terhadap seluruh

sekuritas di portofolio

Ri = return realisasian dari sekuritas ke-i

n = jumlah dari sekuritas tunggal

contoh 8.1:

suatu portofolio terdiri dari 3 macam sekuritas dengan proporsi yang sama, yaitu masing-masing 1/3 bagian. Return-return yang diekspektasi dimasa mendatang untuk masing-masing sekuritas adalah untuk sekuritas pertama sebesar 15%, sekuritas kedua sebesar 18% dan sekuritas ketiga sebesar 21%. Besarnya return ekspektasian portofolio adalah sebesar:

E(Rp) =

= 1/3 . 15% + 18% + 1/3 . 21%

= 18%

B. RISIKO PORTOFOLIO

Tidak seperti halnya return portofolio yang merupakan rata-rata pertimbang dari seluruh return sekuritas tunggal, risiko portofolio (portofolio risk) tidak merupakan rata-rata tertimbang dari seluruh risiko sekuritas tunggal. Risiko portofolio mungkin dapat lebih kecil dari risiko rata-rata tertimbang masing-masing sekuritas tunggal.

Konsep dari risiko portofolio pertama kali diperkenalkan secara formal oleh Harry M. Markowitz di tahun 1950-an. Kemudian dia memenangkan hadiah Nobel di bidang ekonomi di tahun 1990 untuk karyanya tersebut. Dia menunjukkan bahwa secara umum risiko mungkin dapat dikurangi dengan menggabungkan beberapa sekuritas tunggala ke dalam bentuk portofolio. Persyaratan utama untuk dapat mengurangi risiko di dalam portofolio ialah return untuk masing-masing sekuritas tidak berkorelasi secara positif dan sempurna.

1. Portofolio dengan Dua Aktiva

Misalnya suatu portofolio terdiri dari dua aktiva, yaitu sekuritas A dan B. Porsi sekuritas A di dalam portofolio adalah sebesar a dan B sebesar b atau (1-a). Return realisasi sekuritas A dan B berturut-turut adalah R_A Dan R_B. Dengan demikian return realisasian di portofolio yang merupakan rata-rata tetimbang return-return sekuritas A dan B adalah sebesar:

Rp = a . R_A+ b . R_B

Returnportofolio ekspektasian adalah sebesar:

E(Rp) = E(a . R_A) + E (b . R_B)

Dengan menggunakan property ke-2 di bab 7.5 yang menyatakan bahwa nilai ekspektasian suatu varibel dikalikan dengan nilai ekspektasian variabelnya, yaitu E (a . Ra) adalah sama dengan a . E (Ra) dan E (b . Rb) adalah sama dengan b . E (Rb), maka:

E(Rp) = a. E(Ra) + b. E(Rb) (8-3)

Salah satu pengukur risiko adalah deviasi standar (standard deviation) atau varian (variance) yang merupakan kuadrat dari deviasi standar. Risiko yang diukur dengan ukuran ini mengukur risiko dari seberapa besar nilai tiap-tiap item menyimpang dari rata-ratanya. Risiko portofolio juga dapat diukur dengan besarnya deviasi standar atau varian dari nilai-nilai return sekuritas-sekuritas tunggal yang ada di dalamnya.

Dengan demikian varian return portofolio yang merupakan risiko portofolio dapat dituliskan sebagai berikut:

Var (Rp) = σ_P²= E [Rp – E(Rp)]²

Substitusikan return portofolio (Rp) yang ada di rumus (8-2) dan return portofolio ekspektasian (E[Rp]) yang ada di rumus (8-3) ke dalam persamaan di atas, sehinggga menjadi:

Var = E[a.Ra + b.Rb) – E(a.Ra + Rb)]²

= E[a.Ra + b.Rb – E(a.Ra) – E(b.Rb)]²

= E[a.Ra + b.Rb – a.E(Ra) – b.E(Rb)]²

= E[(a.Ra – a.E(Ra)) + (b.Rb) – b.E(Rb))]²

= E[(a.Ra – E(Ra)) + (b.(Rb – E(Rb))]²

= E[(a². (Ra – E(Ra))²+ (b².(Rb – E(Rb))²+

2 .a . b . (Ra – E (Ra)) . (Rb – E(Rb))]

= a². E [Ra – E (Ra)]² + b² . E [Rb – E (Rb)]² +

2 . a . b . E [(Ra – E (Ra)) . ( Rb – E(Rb))]

Var(Rp) = σ_P² = a² . Var (Ra) + b² . Var (Rb) +

2 a.b.Cov (Ra.Rb) (8-4)

Kovarian (covariance) antara return saham A dan B yang ditulis sebagai Cov (Ra, Rb) atau σ_RA,RB,menunjukkan hubungan arah pergerakan dari nilai-nilai return sekuritas A dan B. Nilai kovarian yang positif menunjukkan nilai-nilai dari dua variabel bergerak kea rah yang sama, yaitu jika satu meningkat, yang lainnya juga meningkat atau jika satu menurun, yang lainnya juga menurun. Nilai kovarian yang negative menunjukkan nilai-nilai dari dua variable bergerak kea rah yang berlawan, yaitu jika satu meningkat, yang lainnya menurun atau jika satu menurun, yang lainnya meningkat. Nilai kovarian yang nol menunjukkan nilai-nilai dari dua variable independen, yaitu pergerakan satu variable tidak ada hubungannya dengan pergerakan variable yang lainnya.

Kovarian dapat dihitung menggunakan cara probabilitas maupun menggunakan data historis.

Kovarian dengan cara probabilitas

Kovarian yang dihitung dengan menggunakan probabilitas dapat dihitung denga rumus sebagai berikut:

Cov(R_A,R_B) = σ_RA,RB

= (8-5)

Notasi:

Cov(Ra,Rb) = Kovarian return antara saham A dan

saham B

_RAi = return masa depan sahan A kondisi

ke-i

_RBi = return masa depan sahan B kondisi

ke-i

E(R_A) = return ekspektasian saham A

E(R_B) = retuen ekspektasian saham B

Pi = probabilitas terjadinya masa depan

untuk kondisi ke-i

n = jumlah dari kondisi masa depan dari

i= 1,n

Contoh 8.2:

Risiko portofolio dapat juga dihitung untuk return-return saham yang menggunakan rumus expected value yang menggunakan nilai-nilai probabilitas. Tabel berikut ini menunjukkan return-return masa depan dan probabilitas kemungkinan terjadinya return-return tersebut untuk saham A dan B.

i	Probabilitas (Pi)	Return Saham A (RA,i)	Return Saham B (RB,i)	[RA,I – E (RA,i)]² . P1	[RB.1 – E (RB.i)]² . Pi	[(RA.i-E(RA.i)) (RB.i-E(RB.)) . Pi
1	0.15	0.55	-0.25	(0.55-0.15)² . 0.15 = 0.024	(-0.25-0.15)² . 0.15 = 0.024	-0.024
2	0.20	-0.12	0.42	(-0.12-0.15)² . 0.20 = 0.015	(0.42-0.15)² . 0.20 = 0.015	-0.015
3	0.30	0.15	0.25	(0.15-0.15)² . 0.30 = 0	(0.15-0.15)² . 0.30 = 0	0
4	0.20	0.42	-0.12	(0.42-0.15) ² . 0.20 = 0.015	(-0.12-0.15)² . 0.20 = 0.015	-0.015
5	0.15	-0.25	0.55	(-0.25-0.15) ² . 0.15 = 0.024	(0.55-0.15)² . 0.15 = 0.024	-0.024
E (R)*	1.00	0.25	0.15	-	-	-
Var (R)*				0.078	0.078	-
Cov (R_A.R_B)*				-	-	-0.078

Tabel diatas menunjukkan bahwa return ekspektasian dari saham A adalah sebesar 15% yang dihitung dengan menguunakan rumus sebagai berikut:

E(R_A₎= R_A._i_.P₁ + R_A,2
. P₂ + R_{A.3 .}P_{3 +}R_{A.4 .}P_4
+R_{A.5 .}P₅

= 0.55 . 0.15 – 0.12 . 0.20 + 0.15 . 0.30 + 0.42 .

0.20 – 0.25 . 0.15

= 0.15 = 15%

Dan return ekspektasian saham B juga sebesar 15% dihitung dari:

E(R_B) = -0.25 . 0.15 + 0.42 . 0.20 + 0.15 . 0.30 – 0.12 .

0.20 + 0.55 . 0.15

= 0.15 = 15%

Varian dari saham A dan B masing-masing bernilai 0.078 yang dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

Var(R_A) = (R_a.1– E(R_A.i))² . P₁ + (R_a.2 – E(R_A.i))² – P₂+

(R_a.3– E(R_A.i))² . P₃+ (R_a.4– E(R_A.i))² . P₄+

(R_a.5– E(R_A.i))² . P₅

= (0.55-0.15)². 0.15 + (-0.12-0.15)² . 0.20 +

(0.15-0.15)² . 0.30+(0.42-0.15)² . 0.20+

(-0.25-0.15)² . 0.15

= 0.078

Var(R_B) = (-0.25-0.15)². 0.15 + (0.42-0.15)² . 0.20 +

(0.15-0.15)² . 0.30+(-0.12-0.15)² . 0.20+

(-0.55-0.15)² . 0.15

= 0.078

Dengan menggunakan rumus di atas, kovarian return saham A dan B sebesar -0.078 dapat dihitung sebagai berikut:

Cov(R_A,R_B) = (R_A,1– E(R_A,i) . (R_B,1– E(R_B,i) . P₁+ (R_A,2–

E(R_A,i) (R_B,2– E(R_B,i) . P₂ + (R_A,3–

E(R_A,i) . (R_B,3– E(R_B,i) . P₃+ (R_A,4–

E(R_A,i) . (R_B,4– E(R_B,i) . P₄+ (R_A,5–

E(R_A,i) . (R_B,5– E(R_B,i) . P₅

= (0.55-0.15) . (-0.25-0.15) . 0,15 + (-0,12-

0,15) . (0,42-0,15) . 0,20 + (0,15-0,15) .

(0,15-0,15) . 0,30 + (0,42-0,15) . (-0,12-

0,15) . 0,20 + (-0,25-0,15) . (0,55-0,15) .

0,15

= -0,078

Kovarian yang negative ini menunjukkan bahwa return saham A dan B akan bergerak dengan arah yang berlawanan, yaitu rugi di satu saham akan dikompensasi dengan untung di saham yang lain. Implikasinya adalah investasi saham-saham dengan kovarian yang negatif di dalam portofolio akan mengurangi bahkan untuk kasus yang tertentu (jika korelasinya negatif sempurna seperti di contoh ini) dapat menghilangkan semua risiko. Variasi dari return portofolio yang terdiri dari 50% saham A (a=0,5) dan 50% saham B (b=0,5) ini selanjutnya dapt dihitung dengan rumus sebagai berikut:

Var(R_P)= _a² . Var(R_A) + b² . Var(R_B) + 2.a.b.Cov(R_A.R_B)

= (0,5)² . 0,078 + (0,5)² . 0,078 + 2 . 0,5 . 0,5 –

0,078

= 0

Hasil dari contoh diatas menunjukkan bahwa jika saham A atau saham B dimiliki terpisah, maka investor akan menanggung risiko sebesar 0,078 yaitu nilai dari Var(R_A) atau Var(R_B). Jika kedua saham ini dimiliki bersama, maka varian return dari portofolio ini adalah nol yang berarti portofolio tersebut tidak mempunyai risiko, yaitu dalam kondisi apapun yang terjadi, portofolio akan tetap mendapatkan return sebesar 15%.

Kovarian Menggunakan Data Historis

Kovarian yang dihitung dengan menggunakan data historis dapat dilakukan dengan rumus sebagai berikut ini:

Cov(R_A,R_B) = σ_RA,RB=

[(R_Ai-E(R_A).(R_Bi-E(R_B)] (8-6)

Notasi :

Cov(R_A,R_B) = Kovarian return antara saham A dan

saham B

R_{Ai =}return masa depan saham A kondisi

ke-i

R_Bi = return masa depan saham B kondisi

ke-i

E(R_A) = return ekspektasian saham A

E(R_B) = retrun ekspektasian saham B

n = jumlah dari observasi data historis

untuk sampel besar (minimal 30

observasi) dan untuk sampel kecil

digunakan (n-1)

Tabel berikut ini menunjukkan return realisasian untuk saham A (R_A) dan return realisasian untuk saham B (R_B) selama tiga periode.

Periode ke	Return A (R_A)	Return B (R_B)	(R_A-R_A)²	(R_B-R_B)²	(R_A-R_A)². (R_B-R_B)²
1	0,25	-0,05	(0,25-0,10) = 0,023	0,023	-0,023
2	0,10	0,10	(0,10-0,10) = 0,000	0,000	0,000
3	-0,05	0,25	(-0,05-0,10) = 0,023	0,023	-0,023
R_A	0,10*	-	-	-	-
R_B	-	0,10*	-	-	-
σ²_A			0.023*	-	-
σ²_B			-	0,023*	-
σ_A.B			-	-	-0,023*

Retrun ekspektasian dihitung berdasarkan cara rata arithmatika. Rata-rata arithmatika untuk return-return saham A dan saham B selama tiga periode adalah sebesar:

(0,250 + 0,100 – 0,050)

R(R_A) = R_A = = 0,100

(-0,050 + 0,100 – 0,250)

R(R_B) = R_B = = 0,100

Risiko yang dihitung sebesar varian dari return-return selama tiga periode untuk saham A dan saham B adalah sebesar:

(0,023 + 0,000 + 0,023)

σ²_A= = 0,023

3-1

(0,023 + 0,000 + 0,023)

σ²_B= = 0,023

3-1

Sedangakan kovarian dari return-return selama tiga periode untuk saham A dan B adalah sebesar:

(-0,023 + 0,000 – 0,023)

σ_A.B = = -0,023

3-1

Risiko portofolio yang dibentuk dari 50% saham A dan 50% saham B adalah sebesar:

σ²_P= 0,5². 0,023 + 0,5² . 0,023 + 2 . 0,5 . 0,5 . (-0,023)

= 0

Koefisien Kolerasi

Konsep dari kovarian dapat dinyatakan dalam bentuk kolerasi (correlation). Koefisien menunjukkan besarnya hubungan pergerakan antara dua variable relative terhadap masing-masing deviasinya. Dengan demikian, nilai koefisien kolerasi antara variable A dan B (r_AB=p_AB) dapat dihitung dengan membagi nilai kovarian dengan deviasi variable-variabelnya!

Cov(R_A.R_B)

R_{AB =}σ_{AB = σA.σB}

Nilai dari koefisien korelasi berkisar dari +1 sampai dengan -1. Nilai koefisien korelasi +1 menunjukkan korelasi positif sempurna, nilai koefisien korelasi 0 menunjukkan tidak ada korelasi dan nilai koefisien korelasi -1 menunjukkan korelasi negative sempurna.

Jika dua buah aktiva mempunyai return dengan koefisien korelasi +1 (positif sempurna), maka semua risikonya tidak dapat dideversifikasi atau risiko portofolio tidak akan berubah sama dengan risiko aktiva individualnya. Jika dua buah aktiva mempunyai return dengan koefisien korelasi -1 (negative sempurna), maka semua risikonya dapat dideversifikasi atau risiko portofolio akan sama dengan nol. Jika koefisien korelasinya di antara +1 dan -1, maka akan terjadi penurunan risiko di portofolio, tetapi tidak menghilangkan semua risikonya. Gambar 8.1 berikut ini menunjukkan hubungan antara korelasi aktiva dengan risiko portofolio.

Korelasi antar aktiva +1 0 -1

Risiko portofolio

tetap berkurang nol

Gambar 8.1. Hubungan korelasi antara aktiva dengan

risiko portofolionya.

Untuk contoh 8.3 sebelumnya, kombinasi saham A dan B menghasilkan risiko portofolio sama dengan nol. Jika hal ini benar, maka koefisien korelasi antara return saham A dan B seharusnya bernilai -1 (korelasi negative sempurna). Dengan menggunakan rumus (8-6), besarnya koefisien korelasi saham A dan B di contoh 8.3 adalah sebesar:

-0,078

R_{AB =}σ_{AB = √0,078 . √0,078}

= -1

Koefisien korelasi lebih dapat menjelaskan besarnya diversifikasi yang dapat dicapai oleh portofolio dibandingkan dengan kovarian. Kovarian sebesar -0,078 kurang dapat menjelaskan besarnya diversifikasi portofolio akan sebesar nol atau akan terjadi diversifikasi sempurna. Dari rumus di (8-7), nilai dari kovarian return saham A dan B dapat dinyatakan dalam bentuk koefisien korelasi sebagai berikut:

Cov(R_AR_B) = r_AB . σ_A. σ_B (8-8)

Dengan mensubstitusikan kovarian dengan koefisien korelasi di rumus (8-8), selanjutnya rumus varian portofolio di rumus (8-4) dapat dinyatakan dalam bentuk koefisien krelasi sebagai berikut:

Var(Rp) = σ_p²

= a² . Var(R_A) + b² . Var(R_B) + 2 . a . b .

r_AB . σ_A. σ_B

Contoh 8.4:

Return saham A dan B untuk 5 periode historis tampak di table berikut ini:

Periode	R_A	R_B
-1	0,050	0,070
-2	0,060	0,050
-3	0,070	0,060
-4	0,080	0,070
-5	0,090	0,050

Akan dibentuk suatu portofolio yang terdiri dari 50% saham A dan 50% saham B. Return dari portofolio untuk tiap-tiap periode adalah rata-rata tertimbang dari return individual sekuritas. Untuk periode -1, return portofolio adalah 0,5 x 0,050 + 0,5 x 0,070 = 0,060. Untuk periode -2, return portofolio adalah 0,5 x 0,060 + 0,5 x 0,050 = 0,055 dan seterusnya untuk periode -3 sampai denga periode -5 sebagai berikut:

T	R_A	R_B	Return Portofolio
-1	0,050	0,070	0,060
-2	0,060	0,050	0,055
-3	0,070	0,060	0,065
-4	0,080	0,070	0,075
-5	0,090	0,050	0,070
E(R)	0,070	0,060	0,065

Return ekspektasian yang dihitung berdasarkan rata-rata aritmatika untuk saham A dan B adalah sebesar:

E(R_A) = (0,050 + 0,060 + 0,070 + 0,080 + 0,090)/5

= 0,070

E(R_B) = ( 0,070 + 0,050 + 0,060 + 0,070 + 0,050)/5

= 0,060

Return ekspektasian portofolio dapat juga dihitung dari rata-rata aritmatika return historisnya sebagai berikut:

E(RP) = (0,060 + 0,055 + 0,065 + 0,075 + 0,070)/5

= 0,065

Return ekspektasian portofolio dapat juga dihitung berdasarkan rumus (8-3) yaitu rata-rata tertimbang dari return ekspektasian masing-masing sekuritas sebagai beriku:

E(RP) = 0,50 (0,70) + 0,50 (0,60) = 0,065

Contoh 8.5:

Dari contoh sebelumnya, yaitu contoh 8.4, risiko saham (dalam bentuk deviasi standard an varian) dan CV (coefficient of variation) untuk saham A dan risiko saham B dapat dihitung dengan rumus deviasi standar:

SD_{A
=}σ_A

₌(((0,050-0,070)² + (0,070-0,070)² + (0,080-

0,070)² + (0,090-0,070)² / (5-1))^1/4

= 0,01581

VAR_A= σ_A² = (0,01581)² = 0,00025

CV_A= SD_A / E(R_A) = 0,01581 / 0,070

= 0,2259

SD_B = σ_B

= (((0,070-0,060)² + (0,050-0,060)² + (0,060-

0,060)² + (0,070-0,060)² + (0,050-0,060)²)

/ (5-1))^1/4

= 0,010

VAR_B = σ_B² = (0,010)² = 0,00010

CV_B = SD_B / E(R_B) = 0,010 / 0,060

= 0,1667

Sedangkan risiko portofolio dapat dihitung dengan cara yang sama sebagai berikut ini:

SDP = σP

= (((0,060-0,065)² + (0,055-0,065)² + (0,065-

0,065)² + (0,070-0,070)²) / (5-1))^1/2

= 0,0079

VAR_P = σP²= (0,0079)² = 0,0000625

CV_P = SD_P / E (R_P) = 0,0079 / 0,065

= 0,1216

Dari hasil ini dapat terlihat bahwa risiko portofolio (VAR_P = σP² = 0,0000625) lebih kecil dari risko invidual saham, baik risiko saham A (VAR_A = _σA² = 0,00025) maupun risiko saham B (VAR_B = _σB² = 0,00010). Demikian juga CV portofolio CV_P = 0,1216) lebih kecil dari CV saham A (CV_A = 0,2259) maupun CV saham B (CV_B = 0,1667). Ini menunjukkan bahwa risiko portofolio ataupun CV-nya (risiko relatifnya terhadap return ekspektasiannya) lebih kecil dibandingkan dengan risiko ataupun CV masing-masing individual saham.

Contoh 8.6:

Data dari contoh sebelumnya yaitu contoh 8.3 dapat digunakan untuk menghitung risiko portofolio dengan cara yang lain yaitu dengan menggunakan rumus 8-4.

Periode	R_A	R_B
-1	0,050	0,070
-2	0,060	0,050
-3	0,070	0,060
-4	0,080	0,070
-5	0,090	0,050

Besarnya varian return saham A dan varian return saham B telah dihitung sebelumnya di contoh 8.5 dengan hasil VAR_A = σ_A²= 0,00025 dan VAR_B = σ_B² = 0,00010. Untuk menghitung risiko portofolio, kovarian return saham A dan B harus dihitung terlebih dengan menggunakan rumus 8-5:

Cov(R_A,R_B) = σ_RA,_RB

= ((0,050-0,070) . (0,070-0,060) +

(0,060-0,070) . (0,050-0,060) +

(0,070-0,070) . (0,060-0,060) +

(0,080-0,70) . (0,070-0,060) + (0,090-

0,070) . (0,050-0,060)) / (5-1)

= 0,00005

2. Portofolio dengan Banyak Aktiva

Uraian sebelumnya menggunakan portofolio yang berisi dua buah aktiva, yaitu sekuritas A dan B. bagian ini akan membahas portofolio dengan banyak aktiva, yaitu terdiri dari n buah sekuritas. Proporsi dari masing-masing aktiva ke-i yang membentuk portofolio adalah sebesar w_i. misalnya suatu portofolio berisi 3 buah sekuritas dengan proporsi masing-masing sekuritas adalah sebesar w₁, w₂, dan w₃, berturut-turut untuk sekuritas ke 1,2 dan 3 adalah σ_1,σ_2,dan σ_3.Besarnya kovarian-kovarian untuk sekuritas (1 dan 2), (1 dan 3) dan (2 dan 3) adalah σ_1,σ_2,dan σ_3.Menggunakan rumus (8-4), selanjutnya besarnya varian untuk portofolio dengan 3 sekuritas ini dapat di tuliskan:

σ_P²= [w₁² . σ₁²+ w₂² . σ₂²+ w₃² . σ₃²] + [2 w_1. w₂ .

σ₁₂+ 2 w_1. W₃ . σ₁₃+ 2 w_2. W₃ . σ₂₃]

= [proporsi varian] + [proporsi kovarian] (8-10)

Dengan demikian, risiko dari portofolio merupakan jumlah dari proporsi varian dan kovarian masing-masing aktiva. Matrik varian-kovarian menunjukkan varian dank ovarian dari seluruh aktiva. Untuk 3 aktiva, matrik ini akan berbentuk sebagai berikut:

Bagian diagonal matrik ini berisi dengan varian masing-masing aktiva, yaitu σ_1,σ_2,dan σ₃atau σ_11,σ_22,dan σ_33.Bagian diluar diagonal merupakan kovarian. Matrik ini merupakan matrik yang simetrik, yaitu bagian atas luar diagonal sama dengan bagian bawah luar diagonal, atau kovarian σ_12,σ_13,dan σ₂₃berturut-turut sama dengan kovarian σ_21,σ_31,dan σ_32.Karena nilai σ₁₂sam dengan nilai σ_11,σ_21,maka dua nilai ini cukup ditulis dekali saja dan dikalikan dengan niali 2 seperti yag tampak di rumus varian portofolio di (8-10).

Karena risiko portofolio adalah penjumlahan dari varian dan kovarian sesuai dengan proporsi masing-masing aktiva didalamnya, maka risko ini dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matrik antara matrik varian-kovarian dengan matrik proporsi masing-masing aktiva. Untuk 3 buah aktiva, risko portofolio dapat dinyatakan dalam perkalian matrik sebagai berikut:

σ_P²= [w₁ . w₂ . w₃]

Jika perkalian matrik ini dialkukan, maka akan didapatkan hasil yang sama dengan rumus di (8-10).

Untuk n-aktiva, rumus varian di (8-10) dapat ditulis:

σ_P²= [w₁² . σ₁²+ w₂² . σ₂²+ w₃² . σ₃² + w_n². σ_n²]+

[2 w_1. w₂ . σ₁₂+ 2 w_1. w₃ . σ₁₃ + …. + 2 w_1. w_n . σ_1n+ 2 w_2. w₃ . σ₂₃+ …. + 2 w_2. w_n . σ_2n+ …. 2 w_n-1. w_n . σ_n-1.n] (8-11)

Atau dapat dituliska sebagai berikut:

σ_P^{2 =} +

i_#j

Bagian pertama dari rumus ini mewakili varian (elemen-elemen diagonal di matrik varian-kovarian) dan bagian kedua mewakili kovarian (elemen-elemen non-diagonal di matrik varian-kovarian). Matrik varian-kovarian untuk n-aktiva tampak sebagai berikut:

Rumus varian portofolio di (8-12) dapat dijabarkan kembali menjadi:

σ_P^{2 =} σii +

i_#j

Bagian pertama dan kedua dari rumus di atas dapat digabungkan menjadi:

σ_P^{2 =} (8-13)

Rumus ini menunjukkan bahwa risiko portofolio adalah penjumlahan semua varian dan kovarian yang berada di matrik varian-kovarian dikalikan dengan proporsi aktivanya masing-masing di dalam portofolio.

Contoh 8.7:

Suatu portofolio terdiri dari tiga buah sekuritas denga proporsi 20%, 30% dan 50% masing-masing untuk sekuritas pertama, kedua dan ketiga. Varian dank ovarian return dri sekuritas-sekuritas ini ditunjukkan oleh matrik varian-kovarian berikut:

Dengan menggunakan rumus 8-13, besarnya varian dari portofolio adalah sebesar:

σ_P²= w₁ . w₂ . σ₁₁+ w₁ . w₂. σ₁₂+ w_1. W₃ . σ₁₃+ w₂ . w₁.

σ₂₁+ w₂ . w₂. σ₂₂+ w₂ . w₃. σ₂₃+ w₃ . w₁. σ₃₁+ w₃

. w₂. σ₃₂+ w₃ . w₃. σ₃₃

= 0,2 . 0,2 . 0,2 + 0,2 . 0,3 . 0,3 + 0,2 . 0,5 . 0,15 +

0,3 . 0,2 . 0,3 + 0,3 . 0,3 . 0,5 + 0,3 . 0,5 . -0,25 +

0,5 . 0,2 . 0,15 + 0,5 . 0,3 . -0,25 + 0,5 . 0,5 .

0,07

= 0,0615

Rumus (8-13) dapat juga dinyatakan dalam bentuk matrik sebagai berikut:

σ_n² =

Contoh 8.8:

Varian portofolio di contoh 8.3 jika dihitung menggunakan cara matrik di rumus (8-14) tampak sebagai berikut:

σ_P²= [0,2 . 0,3. 0,5]

= [0,04+0,09+0,075 0,06+0,15-0,125 0,03-0,075+0,035)

= [0,205 0,085 -0,010]

= 0,041 + 0,0255 – 0,005 = 0,0615

Karena σ_1j(kovarian antara aktiva i dan j) adalah sama dengan r_ij . σ_i,σ_j(lihat rumus 8-8), maka rumus varian portofolio di (8-13) dapat juga ditulis mengandung koefisien korelasi sebagai ganti dari kovarian sebagai berikut:

σ_P^{2 =} (8-15)

Contoh 8.9:

Table berikut ini berisi informasi deviasi standard an koefisien korelasi untuk 4 buah sekuritas yang mempunyai proporsi 10%,20%, 30% dan 40% berturut-turut untuk sekuritas 1,2,3, dan 4 di dalam portofolio.

Sekuritas	Korelasi (r_ij)
Sekuritas	0	1	2	3	4
1	3%	1,0
2	5%	0,8	1,0
3	7%	0,6	0,7	1,0
4	9%	0,2	-0,5	0,9	1,0

Dengan menggunakan rumus (8-15), besarnya varian dari portofolio adalah sebesar:

σ_P²= w₁ . w₁ . r_{11 .} σ_{1 .}σ₁+ w₂ . w₂ . r_{22 .} σ_2
.σ₂+ w₃ . w₃ . r_{33 .} σ_{3 .}σ₃+ w₄ . w₄ . r_{44 .} σ_4
.σ₄+ w₁ . w₂ . r_{12 .} σ_{1 .}σ₂+ w₁ . w₃ . r_{13 .} σ_1
.σ₃+ w₁ . w₄ . r_{14 .} σ_{1 .}σ₄+ w₂ . w₃ . r_{23 .} σ_2
.σ₃+ w₂ . w₄ . r_{24 .} σ_{2 .}σ₄+ w₃ . w₄ . r_{34 .} σ_3
.σ₄+ w₂ . w₁ . r_{21 .} σ_{2 .}σ₁+ w₃ . w₁ . r_{31 .} σ_3
.σ₁+ w₄ . w₁ . r_{41 .} σ_{4 .}σ₁+ w₃ . w₂ . r_{32 .} σ_3
.σ₂+ w₄ . w₂ . r_{42 .} σ_{4 .}σ₂+ w₄ . w₃ . r_{43 .} σ_4
.σ₃

= (0,10 . 0,10 . 1,0 . 0,03 . 0,03) + (0,20 . 0,20 . 1,0 . 0,05 . 0,05) + (0,30 . 0,30 . 1,0 . 0,07 . 0,07) + (0,40 . 0,40 . 1,0 . 0,09 . 0,09) + (0,10 . 0,20 . 0,8 . 0,03 . 0,05) + (0,10 . 0,30 . 0,6. 0,03 . 0,07) + (0,10 . 0,40 . 0,2 . 0,03 . 0,09) + (0,20 . 0,30 . 0,7 . 0,05 . 0,07) + (0,20 . 0,40 . -0,5 . 0,05 . 0,09) + (0,30 . 0,40 . 0,9 . 0,07 . 0,09) + (0,20 . 0,10 . 0,8 . 0,05 . 0,03) + (0,30 . 0,10 . 0,6 . 0,07 . 0,03) + (0,40 0,10 . 0,2 . 0,09 . 0,03) + (0,30 . 0,20 . 0,7 . 0,07 . 0,05) + (0,40 . 0,20 . -0,5 . 0,07 . 0,05) + (0,40 . 0,30 . 0,9 . 0,07)

= 0,00335

3. Risiko Total

Bagian dari risko sekuritas yang dapat dihilangkan dengan membentuk portofolio yang well-diversified disebut denga risiko yang dapat di-diversifikasi (diversifiable risk) atau risiko perusahaan (company risk) atau risiko spesifik (specific risk) atau risiko unik (unique risk) atau risiko yang tidak sistematik (unsystematic risk), karena risiko ini unik untuk suatu perusahaan, yaitu hal yang buruk terjadi di suatu perusahaan lain, maka risiko ini dapat diimbangi dengan hal yang baik terjadi di perusahaan lain, maka risiko ini dapat di-diversifikasi di dalam portofolio. Contoh dari diversifiable risk adalah pemogokan buruh, tuntutan oleh pabrik lain, peneliti yang tidak berhasil dan lain sebagainya.

Sebaliknya, risiko yang tidak dapat di-diversifikasikan oleh portofolio disebut dengan nondiversifiable riak atau risiko pasar (market risk) atau risiko umum (general risk) atau risiko sistematik (systematic risk). Rsiko ini terjadi karena kejadian-kejadian di luar kegiatan perusahaan, seperti inflasi, resesi dan lain sebagainya.

Risiko total (total risk) merupakan penjumlahan dari diversifiable dan nondiversiable risks sebagai berikut ini.

Risiko Total = Risiko dapat di-diversifikasi + Risiko

tak dapat di-diversifikasi

= Risiko perusahaan + Risiko pasar

= Risiko tidak sistematik + Risiko

sistematik

= Risiko spesifik (unik) + Risiko umum

4. Diversifikasi

Telah diketahui bahwa risiko yang dapat di-diversifikasi adalah risiko yang tidak sistematik atau risiko spesifik dan unik untuk perusahaan (lihat gambar 8.2). diversifikasi risiko ini sangat penting untuk investor, karena dapat meminimumkan risiko tanpa harus mengurangi return yang diterima. Investor dapat melakukan diversifikasi dengan beberapa cara, seperti misalnya dengan membentuk portofolio berisi banyak aktiva, membntuk portofolio secara random atau diversifikasi secara metode Markowitz.

4.1 Diversifikasi dengan banyak aktiva

Mengikuti hukum statistic bahwa semakin besar ukuran sampel, semakin dekat nilai rata-rata sampel dengan nilai ekspektasian dari populasi. Hukum ini disebut dengan hukum jumlah besar (Law of Large Number). Asumsi yang digunakan di sini adalah bahwa tingkat hasil (rate of return) untuk masing-masing sekuritas secara statistic adalah independen. Ini berarti bahwa rate of return untuk satu sekuritas tidak terpengaruhi oleh rate of retrun untuk satu sekuritas tidak terpengaruhi oleh rate of return sekuritas yang lainnya. Dengan asumsi ini, deviasi standar yang mewakili risiko dari portofolio dapat dituliskan sebagai berikut:

σ_i

σ_{P =
√n}(8-17)

Dari rumus (8-17) di atas terlihat bahwa risiko dari portofolio akan menurun dengan cepat dengan semakin besarnya jumlah sekuritas (n). misalnya suatu portofolio berisi dengan 100 buah sekuritas yang mempunyai deviasi standar yang sama sebesar 0,25 untuk tiap-tiap sekuritasnya. Risiko portofolio ini adalah sebesar σ_P= 0,25 / √100 ) = 0,025. Semakin banyak sekuritas yang dimasukkan ke portofolio, semakin kecil risiko portofolionya. Kenyataannya, asumsi rate of return yang independen untuk masing-masing sekuritas adalah kurang realistis, karena umumnya return sekuritas berkorelasi satu dengan lainnya.

4.2 diversifikasi secara randown

Diversifikasi secara random (random atau naïve diversification) merupakan pembentukan portofolio dengan memilih sekuritas-sekuritas secara acak tanpa memperhatikan karakteristik dari investasi yang relevan seperti misalnya return dari sekuritas itu sendiri. Investor hanya memilih sekuritas secara acak.

Efek dari pemilihan sekuritas secara acak terhadap risiko portofolio diteliti oleh Fama ( 1976). Deviasi standar masing-masing sekuritas dihitung menggunakan data return bulanan dari bulan juli 1963 sampai dengan juni 1968. Sekuritas pertama yang dipilih secraa acak mempunyai deviasi standar sekitar 11%. Kemudian sekuritas kedua juga dipilih secara acak dan dimasukkan ke dalam portofolio dengan proporsi yang sama. Deviasi standar portofolio turun menjadi sekitar 7,2%. Langkah-langkah yang sama dilakukan sampai dengan 50 sekuritas. Penurunan portofolio terkadi dengan cepat sampai dengan sekuritas ke 10 sampai ke 15. Setelah sekuritas ke 15, penurunan risiko portofolio menjadi lambat (lihat gambar 8.2). hasil ini menunjukkan bahwa keuntunngan diversifikasi dapat dicapai hanya dengan sekuritas yang tidak terlalu banyak, yaitu hanya kurang dari 15 sekuritas sudah dapat mencapai diversifikasi optimal.

4.3 diversifikasi secara Markowitz

Sebelumnya telah menunjukkan bahwa dengan menggunakan metode mean-variance dari Markowitz, sekuritas-sekuritas yang mempunyai korelasi lebih kecil dari +1 akan menurunkan risiko portofolio. Semakin bnyak sekuritas yang dimasukkan ke dalam portofolio, semakin kecil risiko portofolio. Dengan menggunakan metode Markowitz, diversifikasi ini dapat dibuktikan secara matematis.

Misalnya terdapat n sekuritas di dalam portofolio denngan proporsi yang sama untuk masing-masing sekuritas sebsar w_i.

Besarnya w_i, ini adalah 1/n (misalnya n adalah 4 sekuritas, maka proporsi tiap-tiap sekuritas adalah ¼ atau 25%). Ingat kembali rumus varian portofolio di (8-12) sebagia berikut:

σ_P^{2 =}

Dengan mensubstitusikan w_i = w_j = 1/n, maka besarnya varian portofolio adalah:

σ_P^{2 =}

Pecah kembali rumus di atas menjadi dua bagian, yaitu varian dank ovarian:

σ_P²= ⁺

^i#j

Misalnya varian terbesar untuk tiap-tiap aktiva (σ_ij) adalah T, maka rumus varian portofolio menjadi:

σ_P²= ⁺

^i#j

⁼

^i#j

= ⁺

^i#j

Misalnya lagi nilai rata-rata dari kovarian adalah σ_ijdan jumlah dari kovarian adalah sebanyak (n-1) n atau (n² – n) buah, maka total nilai semua kovarian adalah sebesar (n² – n).

σ_ij.Substitusikan nilai ini ke rumus varian portofolio sehingga menjadi:

σ_P²= ⁺ [(n² – n) . σ_ij]

= ⁺( ^.σ_ij- ^.σ_ij)

= ⁺(σ_ij- ^.σ_ij)

Diversifikasi akan menghilangkan efek dari varian, tetapi efek kovarian masih tetap ada, yaitu sebesar nilai rata-rata semua kovarian atau dengan kata lain, untuk portofolio yang di-diversifikasikan dengan baik yang terdiri dari banyak aktiva, efek dari kovarian menjadi lebih penting dibandingkan efek dari varian masing-masing aktiva.

Dunia Manajemen

Sabtu, 07 November 2015

Return dan Risiko Portofolio

2 komentar: